Test 01 Number System IMPORTANT INSTRUCTIONS This test consists of 25 questions.At the end of the test, a "Final Submit" button will appear. Upon clicking it, your result will be displayed, including:—● Total marks obtained [after applying negative marking (-¼), if any],● A clear indication of which questions were answered correctly or incorrectly, andA complete view of all correct answers for your reference.इस परीक्षा में 25 प्रश्न होंगे।परीक्षा के अंत में, एक "Final Submit" बटन दिखाई देगा। इस पर क्लिक करने पर, आपका परिणाम प्रदर्शित होगा, जिसमें शामिल होगा:—● कुल प्राप्तांक [यदि कोई हो, तो नकारात्मक अंकन (-¼) के बाद],● किस प्रश्न का उत्तर सही या गलत दिया गया, इसका स्पष्ट संकेत, औरआपके के लिए सभी सही उत्तरों की एक पूरी सूची। Quiz with Countdown Timer & Responsive Donation Box ⏳ Time Left: 00:00 1. If the difference of the squares of two positive integers and their product are respectively 315 and 54, then the sum of the squares of these two positive integers will be completely divisible by which of the following? यदि दो धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का अंतर तथा उनका गुणनफल क्रमशः 315 और 54 है, तो इन दोनों धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का योगफल निम्नलिखित में से किससे पूर्णतः विभाजित होगा? (A) 33 (B) 35 (C) 36 (D) 37 The correct answer is (D) 37. Let the two positive integers be x and y. Given: x² − y² = 315 xy = 54 We know: (x² + y²)² = (x² − y²)² + (2xy)² Substituting the values: (x² + y²)² = 315² + (2 × 54)² = 99225 + 11664 = 110889 Therefore: x² + y² = √110889 = 333 Now check divisibility: 333 ÷ 36 = 9 remainder 9 333 ÷ 37 = 9 Hence, 333 is completely divisible by 37. Therefore, the correct answer should actually be (D) 37. मान लीजिए दो धनात्मक पूर्णांक x और y हैं। दिया है: x² − y² = 315 xy = 54 सूत्र: (x² + y²)² = (x² − y²)² + (2xy)² मान रखने पर: (x² + y²)² = 315² + (108)² = 99225 + 11664 = 110889 अतः: x² + y² = √110889 = 333 अब जाँच करें: 333, 37 से पूर्णतः विभाजित होता है। इसलिए सही उत्तर वास्तव में (D) 37 है। 2. If the product of two positive integers is 60, then which of the following statements is not correct about the difference of their squares? यदि दो धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 60 है, तो उनके वर्गों के अंतर के संबंध में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही नहीं है? (A) Its minimum value will be 64. / इसका न्यूनतम मान 64 होगा। (B) It is not divisible by 13. / यह 13 से विभाजित नहीं होता है। (C) It will have a total of six values. / इसका कुल छह मान होंगे। (D) Its maximum value will be 896. / इसका अधिकतम मान 896 होगा। The correct answer is (D) Its maximum value will be 896. / इसका अधिकतम मान 896 होगा। Let the two positive integers be pairs whose product is 60: (1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) Now calculate the difference of their squares: 60² − 1² = 3600 − 1 = 3599 30² − 2² = 900 − 4 = 896 20² − 3² = 400 − 9 = 391 15² − 4² = 225 − 16 = 209 12² − 5² = 144 − 25 = 119 10² − 6² = 100 − 36 = 64 Hence, the six values are: 3599, 896, 391, 209, 119, 64 Minimum value = 64 ✔️ Maximum value = 3599, not 896 ✘ Total number of values = 6 ✔️ Therefore statement (D) is considered incorrect because the claim about maximum value is not 896, but 3599. मान लीजिए दो धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 60 है। संभावित युग्म होंगे: (1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) अब उनके वर्गों का अंतर निकालते हैं: 60² − 1² = 3599 30² − 2² = 896 20² − 3² = 391 15² − 4² = 209 12² − 5² = 119 10² − 6² = 64 अतः कुल 6 मान प्राप्त होते हैं। न्यूनतम मान 64 है। अधिकतम मान 3599 है, 896 नहीं। इसलिए सही नहीं होने वाला कथन (D) है। 3. If the ratio of two numbers is 2 : 7 and their product is 686, then what will be the difference between the squares of these two numbers? यदि दो संख्याओं का अनुपात 2 : 7 है और उनका गुणनफल 686 है, तो इन दोनों संख्याओं के वर्गों के बीच का अंतर कितना होगा? (A) 2201 (B) 2205 (C) 2215 (D) 2235 The correct answer is (B) 2205. Let the two numbers be 2x and 7x. According to the question: (2x)(7x) = 686 14x² = 686 x² = 49 x = 7 Therefore, the numbers are: 2x = 14 and 7x = 49 Difference between their squares: 49² − 14² = 2401 − 196 = 2205 Hence, the required difference is 2205. मान लीजिए दोनों संख्याएँ 2x और 7x हैं। प्रश्नानुसार: (2x)(7x) = 686 14x² = 686 x² = 49 x = 7 अतः दोनों संख्याएँ होंगी: 14 और 49 अब उनके वर्गों का अंतर: 49² − 14² = 2401 − 196 = 2205 इसलिए सही उत्तर 2205 है। 4. What will be the sum of five consecutive natural numbers whose sum of squares is 1455? पाँच लगातार प्राकृत संख्याओं का योगफल क्या होगा जिनके वर्गों का योगफल 1455 है? (A) 83 (B) 85 (C) 105 (D) 109 The correct answer is (B) 85. Let the five consecutive natural numbers be: x − 2, x − 1, x, x + 1, x + 2 According to the question: (x − 2)² + (x − 1)² + x² + (x + 1)² + (x + 2)² = 1455 Expanding the terms: x² − 4x + 4 + x² − 2x + 1 + x² + x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 = 1455 5x² + 10 = 1455 5x² = 1445 x² = 289 x = 17 Therefore, the numbers are: 15, 16, 17, 18, 19 Their sum = 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 85 Hence, the required sum is 85. मान लीजिए पाँच लगातार प्राकृत संख्याएँ हैं: x − 2, x − 1, x, x + 1, x + 2 प्रश्नानुसार: (x − 2)² + (x − 1)² + x² + (x + 1)² + (x + 2)² = 1455 सरल करने पर: 5x² + 10 = 1455 5x² = 1445 x² = 289 x = 17 अतः संख्याएँ हैं: 15, 16, 17, 18, 19 इनका योग = 85 इसलिए सही उत्तर 85 है। 5. If a, b, and c are natural numbers from 1 to 10 such that a² – b³ = c², then how many possible values of a exist? यदि a, b और c एक से दस तक की प्राकृत संख्याएँ हों और a² – b³ = c² हो, तो a के कितने मान संभव हैं? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 The correct answer is (B) 3. Given: a² − b³ = c² Rearranging: a² − c² = b³ (a − c)(a + c) = b³ Since a, b, and c are natural numbers from 1 to 10, we check possible cubes: For b = 2: b³ = 8 3² − 1² = 9 − 1 = 8 ⇒ a = 3 ✔️ For b = 3: b³ = 27 6² − 3² = 36 − 9 = 27 ⇒ a = 6 ✔️ For b = 4: b³ = 64 10² − 6² = 100 − 36 = 64 ⇒ a = 10 ✔️ No other values from 1 to 10 satisfy the condition. Therefore, possible values of a are: 3, 6, 10 Total possible values = 3. दिया गया है: a² − b³ = c² इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: a² − c² = b³ (a − c)(a + c) = b³ अब 1 से 10 तक के मान जाँचते हैं: b = 2 पर: 3² − 1² = 8 ⇒ a = 3 ✔️ b = 3 पर: 6² − 3² = 27 ⇒ a = 6 ✔️ b = 4 पर: 10² − 6² = 64 ⇒ a = 10 ✔️ अतः a के संभव मान हैं: 3, 6, 10 इसलिए a के कुल 3 मान संभव हैं। 6. If 71𝐱6𝐲4 is a six-digit number which is completely divisible by 88, then what is the sum of all possible values of 𝐱? यदि 71𝐱6𝐲4 एक छह-अंकीय संख्या है जो 88 से पूर्णतः विभाजित है, तो 𝐱 के सभी संभव मानों का योगफल कितना होगा? (A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 15 The correct answer is (C) 11. Since 88 = 8 × 11, the number must be divisible by both 8 and 11. Number = 71x6y4 Condition for divisibility by 8: The last three digits must be divisible by 8. Last three digits = 6y4 Possible values: 624 ÷ 8 = 78 ✔️ 664 ÷ 8 = 83 ✔️ Therefore, possible values of y are: y = 2 or 6 Condition for divisibility by 11: (Sum of digits in odd places) − (Sum of digits in even places) must be divisible by 11. Odd places: 7 + x + y = 7 + x + y Even places: 1 + 6 + 4 = 11 Difference: (7 + x + y) − 11 = x + y − 4 This must be divisible by 11. Case 1: y = 2 x + 2 − 4 = 0 x = 2 ✔️ Case 2: y = 6 x + 6 − 4 = 11 x = 9 ✔️ Hence, possible values of x are: 2 and 9 Sum of all possible values of x: 2 + 9 = 11 इसलिए सही उत्तर 11 है। चूँकि 88 = 8 × 11 है, इसलिए संख्या 8 तथा 11 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए। संख्या = 71x6y4 8 से विभाज्यता की शर्त: अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए। अंतिम तीन अंक = 6y4 624 तथा 664 दोनों 8 से विभाज्य हैं। अतः y = 2 या 6 11 से विभाज्यता की शर्त: विषम स्थानों के अंकों का योग − सम स्थानों के अंकों का योग, 11 से विभाज्य होना चाहिए। (7 + x + y) − (1 + 6 + 4) = x + y − 4 y = 2 रखने पर: x = 2 y = 6 रखने पर: x = 9 अतः x के संभव मान 2 और 9 हैं। इनका योग = 11 7. If 897359𝐲7𝐱2 is a ten-digit number which is completely divisible by 72, then which value of 𝐲 is not possible? यदि 897359𝐲7𝐱2 एक दस-अंकीय संख्या है जो 72 से पूर्णतः विभाजित है, तो 𝐲 का कौन-सा मान संभव नहीं है? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 8 The correct answer is (C) 5. English Explanation: For divisibility by 72, the number must be divisible by both 8 and 9. Divisibility by 8: Last three digits 7x2 must be divisible by 8. Possible values of x: 1, 5, 9 Divisibility by 9: Sum of digits = 50 + x + y must be divisible by 9. ⇒ x + y ≡ 4 (mod 9) (i.e., x + y = 4 or 13) Checking options: • y=3 → x=1 works (sum=4) • y=4 → x=9 works (sum=13) • y=5 → No x in {1,5,9} works • y=8 → x=5 works (sum=13) Therefore, y=5 is not possible. हिंदी व्याख्या: 72 से विभाज्य होने के लिए संख्या 8 और 9 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए। 8 से विभाज्यता: अंतिम तीन अंक 7x2 को 8 से विभाज्य होना चाहिए। x के संभावित मान: 1, 5, 9 9 से विभाज्यता: अंकों का योग = 50 + x + y को 9 से विभाज्य होना चाहिए। ⇒ x + y ≡ 4 (mod 9) अर्थात x + y = 4 या 13 विकल्प जाँच: • y=3 → x=1 काम करता है • y=4 → x=9 काम करता है • y=5 → कोई x काम नहीं करता • y=8 → x=5 काम करता है अतः y=5 संभव नहीं है। सही उत्तर (C) 5 है। 8. If 𝐒 = 4 + 8 + 16 + ... + 1024, then what is 𝐒 exactly divisible by? यदि 𝐒 = 4 + 8 + 16 +... + 1024 है, तो 𝐒 किससे पूर्णतः विभाजित होंगे ? (A) 71 (B) 72 (C) 73 (D) 79 The correct answer is (C) 73. Given: S = 4 + 8 + 16 + ... + 1024 This is a geometric progression (G.P.) where: First term (a) = 4 Common ratio (r) = 2 Last term: 1024 = 210 and 4 = 22 Therefore: S = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰ Using the sum formula of G.P.: S = 4(2⁹ − 1)/(2 − 1) = 4(512 − 1) = 4 × 511 = 2044 Now check divisibility: 2044 ÷ 71 = not exact 2044 ÷ 72 = not exact 2044 ÷ 73 = 28 ✔️ 2044 ÷ 79 = not exact Hence, S is exactly divisible by 73. Therefore, the correct option is (C) 73. दिया गया है: S = 4 + 8 + 16 + ... + 1024 यह एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) है, जहाँ: प्रथम पद = 4 समान अनुपात = 2 G.P. के योग का सूत्र: S = a(rⁿ − 1)/(r − 1) यहाँ: a = 4, r = 2, n = 9 अतः: S = 4(2⁹ − 1) = 4(512 − 1) = 4 × 511 = 2044 अब जाँचते हैं: 2044 ÷ 73 = 28 ✔️ अतः S, 73 से पूर्णतः विभाजित है। इसलिए सही उत्तर (C) 73 है। 9. How many prime numbers are there between 1 and 200? 1 से 200 के बीच कुल कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं? (A) 31 (B) 35 (C) 46 (D) 52 The correct answer is (C) 46. A prime number is a number greater than 1 that has only two factors: 1 and itself. Prime numbers between 1 and 200 are: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 Total prime numbers from 1 to 200 = 46. Therefore, the correct answer is (C) 46. अभाज्य संख्या वह संख्या होती है जो 1 से बड़ी हो तथा जिसके केवल दो गुणनखंड हों — 1 और वह स्वयं। 1 से 200 के बीच कुल अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 इनकी कुल संख्या = 46 इसलिए सही उत्तर (C) 46 है। 10. When 15971 is divided by a certain number, the quotient is 55 and the remainder is 21. Find the divisor. 15971 को एक निश्चित संख्या से विभाजित करने पर भागफल 55 और शेषफल 21 आता है। भाजक ज्ञात करें। (A) 275 (B) 280 (C) 290 (D) 285 The correct answer is (C) 290. We use the division algorithm: Dividend = (Divisor × Quotient) + Remainder Given: Dividend = 15971 Quotient = 55 Remainder = 21 Let the divisor be x. Therefore: 15971 = 55x + 21 Subtract 21 from both sides: 15950 = 55x x = 15950 ÷ 55 x = 290 Hence, the divisor is 290. Therefore, the correct option is (C) 290. विभाजन नियम के अनुसार: भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल दिया गया है: भाज्य = 15971 भागफल = 55 शेषफल = 21 मान लीजिए भाजक = x तब: 15971 = 55x + 21 21 घटाने पर: 15950 = 55x x = 15950 ÷ 55 x = 290 अतः भाजक 290 है। इसलिए सही उत्तर (C) 290 है। 11. The difference between two numbers is 4176. When the larger number is divided by the smaller number, the quotient and remainder are 36 and 11 respectively. What is the sum of both numbers? दो संख्याओं के बीच का अंतर 4176 है। जब बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित किया जाता है तो भागफल और शेषफल क्रमशः 36 और 11 होते हैं। दोनों संख्याओं का योगफल क्या होगा? (A) 4414 (B) 4144 (C) 4424 (D) 4244 The correct answer is (A) 4414. Let the smaller number be x. According to the question: Larger number = 36x + 11 Also given: Difference between the numbers = 4176 Therefore: (36x + 11) − x = 4176 35x + 11 = 4176 35x = 4165 x = 119 Hence, the smaller number = 119 Larger number = 36 × 119 + 11 = 4284 + 11 = 4295 Sum of both numbers: 4295 + 119 = 4414 Therefore, the required sum is 4414. मान लीजिए छोटी संख्या x है। प्रश्नानुसार: बड़ी संख्या = 36x + 11 दोनों संख्याओं का अंतर 4176 है। अतः: (36x + 11) − x = 4176 35x + 11 = 4176 35x = 4165 x = 119 इसलिए छोटी संख्या = 119 बड़ी संख्या = 36 × 119 + 11 = 4295 दोनों संख्याओं का योग: 4295 + 119 = 4414 अतः सही उत्तर (A) 4414 है। 12. The difference of the cubes of the two sides forming the right angle of a triangle is 999 cubic units and the difference of those sides is 3 units. What is the length of the hypotenuse of this triangle? यदि किसी समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाओं के घनों का अंतर 999 घन इकाई है तथा उन भुजाओं का अंतर 3 इकाई है, तो विकर्ण की लम्बाई कितनी है? (A) 13 (B) 15 (C) 17 (D) 25 The correct answer is (C) 17. Let the two perpendicular sides of the right triangle be a and b, where: a − b = 3 Also given: a³ − b³ = 999 Using the identity: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) Therefore: 999 = 3(a² + ab + b²) a² + ab + b² = 333 Now use: (a − b)² = a² + b² − 2ab 3² = a² + b² − 2ab 9 = a² + b² − 2ab From: a² + ab + b² = 333 We get: (a² + b²) + ab = 333 Solving gives: a = 8 and b = 5 Now apply Pythagoras theorem: Hypotenuse² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 Hypotenuse = 17 Hence, the length of the hypotenuse is 17. मान लीजिए समकोण बनाने वाली भुजाएँ a और b हैं। दिया गया है: a − b = 3 तथा a³ − b³ = 999 सूत्र का प्रयोग करें: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) अतः: 999 = 3(a² + ab + b²) a² + ab + b² = 333 हल करने पर भुजाएँ प्राप्त होती हैं: 8 और 15 अब पाइथागोरस प्रमेय से: कर्ण² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 कर्ण = 17 अतः विकर्ण की लम्बाई 17 इकाई है। 13. If the 8-digit number 43A5325B is divisible by both 8 and 9, then the sum of A and B is: यदि 8-अंकीय संख्या 43A5325B दोनों 8 और 9 से पूर्णतः विभाज्य है, तो A + B का मान कितना है? (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 18 The correct answer is (B) 14. Since the number is divisible by both 8 and 9, it must satisfy both divisibility rules. Number = 43A5325B Condition for divisibility by 8: The last three digits must be divisible by 8. Last three digits = 25B Possible numbers are: 256, 264, 272, 280, 288 Among these, only 256 is divisible by 8. Therefore: B = 6 Condition for divisibility by 9: Sum of digits must be divisible by 9. Sum of digits: 4 + 3 + A + 5 + 3 + 2 + 5 + 6 = 28 + A This must be divisible by 9. Nearest multiple of 9 after 28 is 36. Therefore: 28 + A = 36 A = 8 Hence: A + B = 8 + 6 = 14 Therefore, the correct option is (B) 14. संख्या दोनों 8 और 9 से विभाज्य है, इसलिए दोनों नियम लागू होंगे। संख्या = 43A5325B 8 से विभाज्यता: अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए। अंतिम तीन अंक = 25B 256, 264, 272, 280, 288 में केवल 256 ही 8 से विभाज्य है। अतः B = 6 9 से विभाज्यता: सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। अंकों का योग: 4 + 3 + A + 5 + 3 + 2 + 5 + 6 = 28 + A यह 9 से विभाज्य होना चाहिए। 28 + A = 36 A = 8 अतः: A + B = 8 + 6 = 14 इसलिए सही उत्तर (B) 14 है। 14. (316 − 1), is not divisible by which of the following? (316 − 1), निम्नलिखित में से किससे विभाजित नहीं है? (A) 119 (B) 136 (C) 193 (D) 205 The correct answer is (A) 119. Algebraic Factorization: We know that aⁿ - 1 can be factorized as: 3¹⁶ - 1 = (3⁸ - 1)(3⁸ + 1) = (3⁴ - 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1) = (3² - 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1) = (9 - 1)(9 + 1)(81 + 1)(6561 + 1) × other factors = 8 × 10 × 82 × 6562 × further factors Now check options using factors: • 119 = 7 × 17 → 7 does not divide 3¹⁶-1 (because 3⁶ ≡ 1 mod 7, order is 6, and 6 doesn't divide 16? Wait, actually remainder check shows 17 left). • 136 = 8 × 17 → 8 = 2³ clearly divides (even number). • 193 is a prime that divides 3¹⁶-1 (from factorization or direct check). • 205 = 5 × 41 → Both 5 and 41 divide 3¹⁶-1. Final Verification: 3¹⁶ - 1 = 43,046,720 • Not divisible by 119 (remainder 17) • Divisible by 136, 193, and 205. इसलिए सही विकल्प (A) 119 है। 15. What will be the remainder when 235 is divided by 9? 235 को 9 से विभाजित करने पर शेषफल कितना होगा? (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 5 The correct answer is (D) 5. We find the remainder of 235 when divided by 9. Observe the pattern of powers of 2 modulo 9: 21 = 2 → remainder 2 22 = 4 → remainder 4 23 = 8 → remainder 8 24 = 16 → remainder 7 25 = 32 → remainder 5 26 = 64 → remainder 1 The remainders repeat every 6 powers: 2, 4, 8, 7, 5, 1 Now: 35 ÷ 6 gives remainder 5 Therefore: 235 has the same remainder as 25 when divided by 9. 25 = 32 32 ÷ 9 leaves remainder 5 Hence, the required remainder is 5. 235 को 9 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है। 2 की घातों को 9 से भाग देने पर शेषफल का क्रम देखें: 2, 4, 8, 7, 5, 1 यह क्रम प्रत्येक 6 घातों के बाद दोहराता है। अब: 35 ÷ 6 करने पर शेष 5 बचता है। अतः 235 का वही शेषफल होगा जो 25 का होता है। 25 = 32 32 को 9 से भाग देने पर शेषफल 5 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर (D) 5 है। 16. Find the sum of all three-digit numbers that are divisible by 9. उन सभी तीन-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 9 से विभाज्य हैं । (A) 60,150 (B) 49,950 (C) 55,350 (D) 54,450 The correct answer is (C) 55,350. The smallest three-digit number divisible by 9 is: 108 The largest three-digit number divisible by 9 is: 999 Therefore, the numbers form an A.P. (Arithmetic Progression): 108, 117, 126, ..., 999 Here: First term (a) = 108 Last term (l) = 999 Common difference (d) = 9 Number of terms: n = [(999 − 108) / 9] + 1 = (891 / 9) + 1 = 99 + 1 = 100 Sum of A.P.: S = n(a + l) / 2 = 100(108 + 999) / 2 = 100 × 1107 / 2 = 50 × 1107 = 55,350 Hence, the required sum is 55,350. 9 से विभाज्य सबसे छोटी तीन-अंकीय संख्या = 108 9 से विभाज्य सबसे बड़ी तीन-अंकीय संख्या = 999 अतः श्रेणी होगी: 108, 117, 126, ..., 999 यह एक समान्तर श्रेणी (A.P.) है। जहाँ: प्रथम पद = 108 अंतिम पद = 999 सार्व अंतर = 9 पदों की संख्या: n = [(999 − 108)/9] + 1 = 100 A.P. के योग का सूत्र: S = n(a + l)/2 = 100(108 + 999)/2 = 55,350 इसलिए सही उत्तर (C) 55,350 है। 17. The sum of nineteen consecutive natural numbers is 4408. Find the average of the prime numbers among these numbers. उन्नीस क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का योग 4408 है। इन संख्याओं में से अभाज्य संख्याओं का औसत है (A) 231.86 (B) 232.45 (C) 231 (D) 232 The correct answer is (D) 232. Let the nineteen consecutive natural numbers be centered around x. Since there are 19 consecutive numbers, their average is the middle number. Therefore: x = 4408 ÷ 19 = 232 Hence, the nineteen consecutive numbers are: 223, 224, 225, ..., 241 Now identify the prime numbers among them: 223, 227, 229, 233, 239, 241 Sum of these prime numbers: 223 + 227 + 229 + 233 + 239 + 241 = 1392 Number of prime numbers = 6 Average = 1392 ÷ 6 = 232 Therefore, the required average is 232. उन्नीस क्रमागत संख्याओं का औसत मध्य वाली संख्या के बराबर होता है। अतः: 4408 ÷ 19 = 232 इसलिए संख्याएँ होंगी: 223, 224, 225, ..., 241 इनमें अभाज्य संख्याएँ हैं: 223, 227, 229, 233, 239, 241 इनका योग: 223 + 227 + 229 + 233 + 239 + 241 = 1392 अभाज्य संख्याओं की संख्या = 6 औसत = 1392 ÷ 6 = 232 अतः सही उत्तर (D) 232 है। 18. How much least number should be added to or subtracted from the smallest four-digit number to make it a perfect cube? पांच अंको की सबसे छोटी पूर्ण संख्या में कम-से-कम कितना जोड़ा या घटाया जाए कि यह पूर्ण घन बन जाए? (A) 228 (B) 468 (C) 648 (D) 739 The correct answer is (C) 648. English Explanation: Smallest 5-digit number = 10000 Nearest perfect cubes: • 21³ = 9261 • 22³ = 10648 • Subtract: 10000 − 9261 = 739 • Add: 10000 + 648 = 10648 (22³) Least number required is 648 (to be added). हिंदी व्याख्या: पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या = 10000 निकटतम पूर्ण घन: • 21³ = 9261 • 22³ = 10648 • घटाने पर: 10000 − 9261 = 739 • जोड़ने पर: 10000 + 648 = 10648 (22 का घन) सबसे कम संख्या 648 है (जोड़नी होगी)। Shortcut Tip: 10000 का घनमूल ≈ 21.54 है, इसलिए 21 और 22 के घनों की जाँच करें और कम अंतर वाला विकल्प चुनें। 19. What is the sum of the digits of the largest five-digit perfect square number? पाँच अंकों की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या के अंकों का योगफल क्या होगा? (A) 45 (B) 44 (C) 39 (D) 37 The correct answer is (D) 37. The largest five-digit number is: 99999 We need the largest perfect square less than or equal to 99999. √99999 ≈ 316.22 Therefore, the greatest integer is 316. Now calculate: 3162 = 99856 Thus, the largest five-digit perfect square number is: 99856 Sum of its digits: 9 + 9 + 8 + 5 + 6 = 37 Hence, the required answer is (D) 37. पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 है। हमें इससे छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करनी है। √99999 ≈ 316.22 अतः सबसे बड़ा पूर्णांक 316 होगा। अब: 3162 = 99856 इसलिए सबसे बड़ी पाँच अंकों की पूर्ण वर्ग संख्या 99856 है। इसके अंकों का योग: 9 + 9 + 8 + 5 + 6 = 37 अतः सही उत्तर (D) 37 है। 20. A number is divided into three parts such that 3 times the first part = 6 times the second part = 8 times the third part. If the first part is ₹1600, what is the third part? एक संख्या को तीन भागों में इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि पहले भाग का तीन गुणा, दूसरे का छह गुणा और तीसरे का आठ गुणा बराबर है। यदि पहला भाग ₹1600 है, तो तीसरा भाग कितना है? (A) ₹450 (B) ₹900 (C) ₹600 (D) ₹750 The correct answer is (C) ₹600. Let the three parts be A, B, and C. According to the question: 3A = 6B = 8C Let the common value be k. Then: A = k/3 B = k/6 C = k/8 Therefore, the ratio of the three parts is: A : B : C = 1/3 : 1/6 : 1/8 Taking LCM 24: = 8 : 4 : 3 Given: First part = ₹1600 So, 8 parts = 1600 1 part = 1600 ÷ 8 = 200 Third part = 3 parts = 3 × 200 = ₹600 Hence, the third part is ₹600. मान लीजिए तीन भाग A, B और C हैं। प्रश्नानुसार: 3A = 6B = 8C अतः अनुपात होगा: A : B : C = 1/3 : 1/6 : 1/8 LCM 24 लेने पर: 8 : 4 : 3 पहला भाग = ₹1600 दिया है। अर्थात 8 भाग = 1600 1 भाग = 1600 ÷ 8 = 200 तीसरा भाग = 3 × 200 = ₹600 इसलिए सही उत्तर (C) ₹600 है। 21. What is the units digit of 20232023? 20232023 के गुणनफल में एकक-अंक क्या है? (A) 1 (B) 3 (C) 7 (D) 9 The correct answer is (C) 7. To find the units digit of 20232023, we only need the units digit of the base number. The units digit of 2023 is 3. So we need the units digit of: 32023 Observe the pattern of units digits of powers of 3: 31 → 3 32 → 9 33 → 7 34 → 1 The pattern repeats every 4 powers: 3, 9, 7, 1 Now divide 2023 by 4: 2023 ÷ 4 leaves remainder 3 Therefore, the units digit will be the same as that of 33. 33 = 27 Units digit = 7 Hence, the correct answer is (C) 7. 20232023 का एकक अंक ज्ञात करने के लिए केवल आधार संख्या के एकक अंक को देखते हैं। 2023 का एकक अंक = 3 अतः हमें 32023 का एकक अंक ज्ञात करना है। 3 की घातों के एकक अंकों का क्रम देखें: 3, 9, 7, 1 यह क्रम प्रत्येक 4 घातों के बाद दोहराता है। 2023 ÷ 4 करने पर शेष 3 प्राप्त होता है। अतः एकक अंक वही होगा जो 33 का है। 33 = 27 इसलिए एकक अंक = 7 अतः सही उत्तर (C) 7 है। 22. When (10025 − 25) is written in decimal notation, what is the sum of its digits? जब (10025 − 25) को दशमलव संकेतन पद्धति में लिखा गया है, तो अंकों का योग क्या होगा? (A) 446 (B) 444 (C) 445 (D) 453 The correct answer is (B) 444. Given: 10025 − 25 Since: 10025 = (102)25 = 1050 Therefore: 1050 − 25 Writing this in decimal form: 99999999999999999999999999999999999999999999999975 This number contains: 48 digits of 9, followed by 7 and 5. Sum of digits: = (48 × 9) + 7 + 5 = 432 + 12 = 444 Hence, the required sum of digits is 444. दिया गया है: 10025 − 25 क्योंकि: 10025 = (102)25 = 1050 अतः: 1050 − 25 दशमलव रूप में यह होगा: 99999999999999999999999999999999999999999999999975 इसमें 48 बार 9 आता है, फिर 7 और 5 आते हैं। अंकों का योग: (48 × 9) + 7 + 5 = 432 + 12 = 444 इसलिए सही उत्तर (B) 444 है। 23. What is the units digit of 13 + 23 + 33 + ⋯ + 223 + 233? 13 + 23 + 33 + ⋯ + 223 + 233 के इकाई स्थान पर कौन-सा अंक होगा? (A) 0 (B) 1 (C) 5 (D) 6 The correct answer is (D) 6. We use the formula: 13 + 23 + 33 + ... + n3 = [n(n + 1)/2]2 Here n = 23 Therefore: Sum = [23 × 24 / 2]2 = (23 × 12)2 = 2762 Now find the units digit of 2762. Since the units digit of 276 is 6: 62 = 36 Therefore, the units digit is 6. Hence, the correct answer is (D) 6. 13 + 23 + 33 + ... + n3 का सूत्र है: [n(n + 1)/2]2 यहाँ n = 23 है। अतः: योग = [23 × 24 / 2]2 = (23 × 12)2 = 2762 276 का इकाई अंक 6 है। 62 = 36 इसलिए अंतिम संख्या का इकाई अंक 6 होगा। अतः सही उत्तर (D) 6 है। 24. What is the remainder when 2323 is divided by 9? 2323 को 9 से विभाजित करने पर शेषफल कितना होगा? (A) 2 (B) 4 (C) 7 (D) 8 The correct answer is (A) 2. English Explanation: To find 2323 mod 9, first simplify the base: 23 ÷ 9 = 2 remainder 5 → 23 ≡ 5 (mod 9) So, 2323 ≡ 523 (mod 9) Pattern of powers of 5 modulo 9: 5¹ → 5 5² → 25 ≡ 7 5³ → 125 ≡ 8 5⁴ → 625 ≡ 4 5⁵ → 3125 ≡ 2 5⁶ → 15625 ≡ 1 The cycle repeats every 6 powers. Now, 23 mod 6 = 5 (because 23 = 3×6 + 5) Therefore, 523 has the same remainder as 55 = 2. हिंदी व्याख्या: 2323 को 9 से विभाजित करने पर शेषफल निकालने के लिए आधार को सरल करें: 23 ÷ 9 में शेषफल 5 → 23 ≡ 5 (mod 9) अतः 2323 ≡ 523 (mod 9) 5 की घातों का मॉडुलो 9 में क्रम: 5¹ → 5 5² → 7 5³ → 8 5⁴ → 4 5⁵ → 2 5⁶ → 1 यह चक्र हर 6 घातों पर दोहराता है। 23 को 6 से विभाजित करने पर शेषफल = 5 इसलिए 523 का शेषफल 55 के समान है, जो 2 है। अतः सही उत्तर (A) 2 है। 25. If N = 310 + 311 + 312 + 313, then how many positive divisors does N have? यदि N = 310 + 311 + 312 + 313 है, तो N के कितने धनात्मक गुणनखंड होंगे? (A) 87 (B) 85 (C) 86 (D) 88 The correct answer is (D) 88. Given: N = 310 + 311 + 312 + 313 Take 310 common: N = 310(1 + 3 + 9 + 27) N = 310 × 40 Now factorize 40: 40 = 23 × 5 Therefore: N = 23 × 310 × 51 Number of positive divisors of a number is given by: (a + 1)(b + 1)(c + 1)... Hence: Number of divisors = (3 + 1)(10 + 1)(1 + 1) = 4 × 11 × 2 = 88 Therefore, the correct answer is (D) 88. दिए गए हैं: N = 310 + 311 + 312 + 313 310 सार्व गुणक लेने पर: N = 310(1 + 3 + 9 + 27) = 310 × 40 अब 40 का गुणनखंड करें: 40 = 23 × 5 अतः: N = 23 × 310 × 51 किसी संख्या के कुल धनात्मक गुणनखंडों की संख्या होती है: (घात + 1) का गुणनफल इसलिए: कुल गुणनखंड = (3 + 1)(10 + 1)(1 + 1) = 4 × 11 × 2 = 88 अतः सही उत्तर (D) 88 है। Final Submit Chapter Set-1 Content Table All questions in this Test 01 Number System practice set are carefully prepared according to the latest syllabus, exam patterns, and question trends followed in various competitive examinations. The test focuses on strengthening conceptual understanding, calculation skills, and problem-solving ability related to Number System topics commonly asked in SSC, Railway, Banking, BPSC, UPSC, and other government examinations. The questions and explanations are designed using reliable and standard educational sources such as NCERT Mathematics textbooks, competitive exam preparation materials, previous year question papers, and authentic quantitative aptitude references by renowned authors and academic publications. Each question is reviewed to ensure accuracy, clarity, and exam relevance. This structured and concept-oriented approach helps learners build a strong mathematical foundation, improve speed and accuracy, and gain confidence in solving Number System problems effectively for competitive examinations. Test 01 Number System Test 01 Number System PIB
